THE FULL BSD FORMULA

一条曲线。
一个函数。

BSD

两种数学语言，
如何给出同一个答案？

读懂“低 Selmer 余秩”条件下的完整首项公式。

算术 / 有理点解析 / L 函数

y² = x³ − x + 1

两个满足方程的有理点

L(E, s)

s = 1 附近的局部形状示意

有理点群 E(ℚ)首项系数

图形用于解释概念，未计算示例曲线的 L 函数或秩。

01 / 先理解两种秩

“几阶消失”，
只是第一层。

有理点群的自由部分，
与 L 函数的消失阶。

秩的相等，并不能确定第一个非零泰勒系数的数值。

r

有理点群的秩

E (Q) ≅ Z^{r} \oplus T

T 是有限挠子群，r 是自由部分的独立生成元个数。

a

解析秩

L (E, s) = A (s - 1)^{a} + \dots

a 是 s = 1 处的消失阶；A 是首个非零系数。

BSD 的秩预测

a = r

下一步：确定 A

02 / 原文定理 1.1

关键前提：
Selmer 余秩
为 0 或 1。

对有理数域上的椭圆曲线 E，
存在一个素数 q。

原文明确：不能直接替换成 Mordell–Weil 秩为 0 或 1 的条件。

完整 q 幂塞尔默群

s_{q} (E) = corank_{Z_{q}} Sel_{q^{\infty}} (E / Q)

s_{q} (E) \in {0, 1}

某个素数 q

假设中只需存在一个这样的素数。

完整 q 幂群

不是只查看一次 q-Selmer 群。

余秩条件

不能省略，也不能直接改成点群的秩。

03 / 从阶数，到系数

相等的是
整个首项系数。

A

解析侧的一个数，
对应算术侧的一组精确因子。

在低 Selmer 余秩条件下，r = a。周期与调整子的规范沿用原文。

完整 BSD 首项公式 · 原文式 (1.2)

\frac{L ^{(r)} ( E , 1 )}{r !} = \frac{Ω _{E} Reg _{E} # Sha ( E / Q ) \prod _{ℓ} c _{ℓ} ( E )}{# E ( Q ) _{tors}^{2}}

Ω_{E}

实周期

Reg_{E}

调整子

# Sha (E / Q)

沙法列维奇–泰特群的阶

ℓ \prod c_{ℓ} (E)

所有有限素数处的玉河数之积

# E (Q)_{tors}^{2}

分母：有理挠子群的阶的平方

r = 0 时左边是 L(E,1)；r = 1 时是 L′(E,1)。

04 / “完整”的含义

每个素数，
都要对上。

2 的配套结果，
与所有奇素数的精确比较。

这是一张证明路线图。素数间的比较及全部技术条件，见原文。

2配套结果

3

5

7

11

⋯

所有奇素数 p · 本文的精确比较

把公式两边相除

R \in Q_{> 0}

v_{p} (R) = 0

对所有素数 p

每个素数的指数差都是零

⟹ R = 1

05 / 结论与适用范围

完整公式，
带着明确前提。

首先确认低 Selmer 余秩条件，
再使用论文的三项结论。

本篇在官方目录中未带 Lean 标记。这里是对论文内容的解读。

存在素数 q，使

s_{q} (E) \in {0, 1}

01

三个数相等

r (E) = a (E) = s_{q} (E)

02

Sha 群有限

# Sha (E / Q) < \infty

03

完整首项公式

包含所有素数因子；周期与调整子按定理 1.1 规范。

一条曲线。一个函数。

“几阶消失”，只是第一层。